いいえ、独自SSLサーバー証明書の自動更新はできません。
あらためて独自SSLサーバー証明書の更新作業が必要となります。
 

独自SSLサーバー証明書の更新作業方法については、下記FAQをご参照ください

FAQ ID:75829 「独自SSL証明書のサーバーへの登録方法を教えてください。」 をご確認ください。」

メール・Webスタンダードサービスをご利用の場合はスタンダード(証明書パック)サービスへ、メールプレミアムサービス Webオプションをご利用の場合は、Webスタンダードサービス＋Webスタンダードサービス専用SSL証明書へオプション変更されることにより、SSL証明書の購入からサーバーへの設定、1年ごとの更新作業はサービス側で実施いたします。
参考FAQ
FAQ ID:96533 「契約中のサービスから契約変更可能なサービスを教えてください。」