WordPressのバージョンアップのために必要なファイルのサイズが、サーバーの一時ファイル置き場の容量制限を超えている可能性があります。

オフィスあんしんレンタルサーバーでは、ダウンロードファイルを一時保存するための /tmp ディレクトリに対し、20MBまでの利用制限を設けています。
アップグレードのためには、ダウンロード先のディレクトリを一時的に /tmp からお客さまの任意のディレクトリへ変更いただくことで対処できます。
     
ディレクトリの変更は、php.ini を次のように編集する必要があります。
例として /data ディレクトリ配下に一時ファイル置き場を変更する場合の記述例を案内します。
     
sys_temp_dir="/virtual/お客さまIPアドレス/data/<任意のディレクトリ名>"
     
php.ini の編集方法につきましては
FAQ ID:62655 「php.iniでPHPの設定値を変更したい」をご参照ください。
     
WordPressのアップグレードが完了し次第、先述の php.ini の記述を削除してください。
なお、編集設定した内容を削除するとデフォルト値に戻ります。